Con el sentido de ‘como último recurso, en definitiva’ es, tal como supone, en última instancia. Así lo recoge el diccionario académico y es un claro uso figurado que toma como base los procedimientos judiciales y administrativos (en primera instancia, en segunda instancia…).

En cambio, última estancia es la sala, habitación, etc., que está en el último lugar, o bien puede referirse a la última vez que se está en un hotel o un hospital, por ejemplo.