La frase comienza escribiendo el nombre es correcta porque el gerundio complementa el significado del verbo principal (le aporta la noción de modo) y comparten el mismo sujeto.

La frase comienza a escribir el nombre también es correcta, pero tiene un significado distinto, indica el inicio de la acción escribir, mientras que con el gerundio se indica que escribir el nombre es lo que se hace en primer lugar.