La RAE en su Diccionario del estudiante lo escribe con minúscula cuando alude a las expediciones cristianas: «El rey Ricardo I de Inglaterra organizó la tercera cruzada». Tal como aclara ese mismo diccionario, es frecuente la mayúscula en este caso concreto (es decir, se trata de una decisión de estilo), pero cuando es otro tipo de campaña, como en «cruzada contra el hambre», es un nombre común y se escribe con minúscula.