Se trata de expresiones de distinto tipo. Cuando se trata de cantidades, solo se emplea el nombre de la unidad en singular cuando la cantidad es exactamente 1: un metro, cien metros, 0,25 metros.

Medio (1/2), por su parte, es un adjetivo, no un número, que concuerda en singular con la medida a la que acompaña, medio (1/2) metro, medio kilómetro, etc. Si en lugar de medio o 1/2 se emplease 0,5, el nombre de la medida iría en plural: 0,5 metros.

1/4 de se lee un cuarto de, y cuarto se emplea aquí como sustantivo con el sentido de ‘cada una de las cuatro partes iguales en que se divide un todo’. La preposición es necesaria para dar a entender a qué «todo» corresponde esa parte, y metro se usa en en singular porque nos referimos a una parte de un metro, no de más de uno.