Eventualmente en esta oración es un anglicismo, frecuente en América, en el que se le da el significado de ‘finalmente’.

Además de los significados del DRAE tiene otros. El Diccionario de uso del español de América y España (Vox) da la siguiente definición: ‘de modo que no es seguro, fijo o regular, o que está sujeto a diversas circunstancias’. De cualquier modo, nunca significa ‘poco a poco’ ni ‘con el paso del tiempo’.