En el primer caso, se trata de una denominación oficial, por lo que se escribe con iniciales mayúsculas: Día de la Constitución.

En cambio, la festividad religiosa no se llama «día de la Inmaculada», sino La Inmaculada Concepción de (la Virgen) María; puesto que la palabra día no forma parte de la denominación de esta festividad, se escribe con inicial minúscula.