La grafía adecuada es Gobierno Frankenstein, con iniciales mayúsculas en ambas palabras, pues se refiere al conjunto de personas o instituciones que gobiernan una división político-administrativa.

Respecto al uso de las comillas, aunque no son imprescindibles, se recomienda emplearlas para destacar tanto la novedad de la expresión como la metáfora que encierra: «Abocados al “Gobierno Frankenstein”».