Curia no es sinónimo de Iglesia, aunque dos de sus significados sí estén relacionados con esa institución:

curia diocesana. ‘Conjunto de personas que ayudan al obispo en la administración de la diócesis’: La curia diocesana acudió a felicitar a su obispo.

curia {pontificia/romana}· ‘Conjunto de las congregaciones y tribunales que existen en la corte del papa para el gobierno de la iglesia católica’: La curia romana aún no se ha pronunciado respecto a este tema.