Ambas formas son correctas: muchos hispanohablantes lo perciben como nombre propio y, por lo tanto, se escribe con mayúscula inicial (así se explica en el Diccionario panhispánico de dudas), pero para muchos otros es un nombre común y se escribe con minúscula. El Diccionario de la Real Academia Española lo registra con minúscula, pero reconociendo también su uso con mayúscula inicial.

Y con la palabra red sucede exactamente lo mismo: aquellos para quienes Internet es nombre propio y sinónimo de Red lo escriben también con mayúscula y los que consideran que son nombres comunes y también sinónimos escriben red con minúscula.