En otro buen diccionario (Clave. Diccionario de uso del español actual), dice:

aforismo

s.m. Sentencia breve que resume algún conocimiento esencial o una reflexión filosófica: En el término medio está la virtud es un aforismo popular.

ETIMOLOGÍA: Del griego aphorismós (definición).

proverbio

s.m. Sentencia, refrán o frase breve que expresan una enseñanza o una advertencia moral: Son famosos, por la sabiduría que encierran, los proverbios chinos y los del rey bíblico Salomón.

ETIMOLOGÍA: Del latín proverbium.

refrán

s.m. Dicho agudo de uso común que suele contener una advertencia o una enseñanza moral y que se transmite generalmente por tradición popular: Me dijo ese refrán de Más vale pájaro en mano que ciento volando para darme a entender que no debía dejar escapar esa oportunidad.

ETIMOLOGÍA: Del francés refrain.

Tras leer esas definiciones y las del DRAE puede verse que la única diferencia es que el aforismo y el proverbio son cortos y el refrán no tiene por qué serlo.