Estos verbos no son sinónimos.

El verbo acometer significa, entre otras cosas, 'decidirse a una acción o empezar a ejecutarla' y no debe emplearse con el significado de cometer, que se usa para decir que alguien cae o incurre en una culpa, falta, delito, etc.

Acometer es correcto en frases como «Acometieron la ejecución del proyecto con mucho entusiasmo» pero no lo es en otras como «Han sido detenidas diez personas acusadas de acometer al menos 21 robos». En este caso debió decirse: «Han sido detenidas diez personas acusadas de cometer al menos 21 robos».