El apellido Parkinson se escribe con inicial mayúscula si va antecedido por enfermedad (enfermedad de Parkinson) y con minúscula cuando va solo, usado como nombre común (padece párkinson).

Según el Diccionario panhispánico de dudas, en la expresión enfermedad de Parkinson debe respetarse la grafía del apellido del médico inglés que describió por primera vez esa dolencia y escribirlo con mayúscula inicial y sin tilde. 

Por el contrario, si se emplea el término aisladamente para referirse a la enfermedad, se convierte en un sustantivo común, y por lo tanto se escribe con minúscula inicial y con tilde: párkinson, como en «El párkinson es una enfermedad muy frecuente que afecta a dos de cada 1000 personas», «La nueva generación de estimulación cerebral puede mejorar los tratamientos del párkinson».

Día Mundial del Párkinson se escribe con iniciales mayúsculas, pues así es como se escriben los sustantivos y adjetivos que forman parte del nombre de festividades, ya sean civiles, militares o religiosas, y con acento, por referirse en este caso a la enfermedad.