Le copiamos lo que dice al respecto el Diccionario panhispánico de dudas

gobierno.

Se escribe con inicial mayúscula cuando significa 'conjunto de las personas que gobiernan un Estado, formado por el presidente y sus ministros', tanto en singular como en plural: «El jefe del Gobierno alemán [...] acelera sus esfuerzos para renovar y mejorar los lazos económicos con América Latina» (Universal [Ven.] 15.9.96); «A Bello alguien aún le reprocha haber desarrollado su obra bajo Gobiernos conservadores» (Teitelboim País [Chile 1988]).

Se escribe con minúscula en el resto de sus acepciones: «Su padre delegó en ella los poderes para el gobierno de la casa» (GaMárquez Amor [Col. 1985]); «Ambas soberanas tenían en común [...] la firme creencia de estar asistiendo al final de la monarquía como forma de gobierno» (Moix Vals [Esp. 1994]).